అధ్యాయం 4: వర్గ సమీకరణాలు Chapter 4: Quadratic Equations
🏛️ 4.1 పరిచయం: నిజ జీవితంలో వర్గ సమీకరణాల ఆవిర్భావం 4.1 Introduction: Real-world Origin of Quadratic Equations
నిత్య జీవితంలో దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలాలు, వైశాల్యాలు, వేగం-కాలం మొదలైన లెక్కలలో వర్గ బహుపదులు $ax^2 + bx + c = 0$ రూపంలో ఉత్పన్నమవుతాయి. In daily life, quadratic polynomials equating to zero, $ax^2 + bx + c = 0$, arise frequently in areas, speed-distance calculations, and optimization problems.
యాక్టివిటీ టెక్స్ట్‌బుక్ సందర్భం: ప్రార్థనా మందిరం వైశాల్యం (Fig. 4.1) Textbook Scenario: Prayer Hall Area (Fig. 4.1)
వెడల్పు $x$ మీటర్లు, పొడవు $(2x + 1)$ మీటర్లు మరియు వైశాల్యం $300\text{ m}^2$ అయినప్పుడు $x$ విలువను కనుగొనడం. Breadth is $x\text{ m}$, Length is $(2x + 1)\text{ m}$, Area is $300\text{ m}^2$. Find the value of $x$.
దశలవారీ సమీకరణ విశ్లేషణ: సరిచూస్తున్నాం…
• వెడల్పు (Breadth) $= x\text{ m}$
• పొడవు (Length) $= 2x + 1\text{ m}$
స్లైడర్‌ను జరపండి లేదా Play నొక్కండి. $x = 12$ అయినప్పుడు $2(12)^2 + 12 = 300\text{ m}^2$ ఖచ్చితంగా సరిపోతుంది!
📜 చరిత్ర & భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల పాత్ర History & Ancient Indian Contributions
ధనాత్మక మొత్తం మరియు లబ్దం ఇచ్చినప్పుడు $x^2 – px + q = 0$ వంటి వర్గ సమీకరణాలను సాధించే విధానాన్ని మొదట అనుసరించారు.
పొడవులను కనుగొనడానికి రేఖాగణిత (Geometrical) విధానాన్ని అభివృద్ధి చేశారు.
$ax^2 + bx = c$ రూపంలోని వర్గ సమీకరణాలను సాధించడానికి మొట్టమొదటి స్పష్టమైన సూత్రాన్ని అందించిన భారతీయ గణితవేత్త.
వర్గమును పూర్తి చేసే పద్ధతి (Completing the square) ద్వారా ‘వర్గ సమీకరణ సూత్రం’ (Quadratic Formula) కనుగొన్నారు.
4.2 వర్గ సమీకరణాలు – ప్రామాణిక రూపం (Standard Form) 4.2 Quadratic Equations – Standard Form
$a, b, c$ లు వాస్తవ సంఖ్యలై $a \ne 0$ అయినప్పుడు, $x$ చరరాశిలో వర్గ సమీకరణం యొక్క ప్రామాణిక రూపం: When $a, b, c$ are real numbers and $a \ne 0$, the standard form of quadratic equation in variable $x$ is:
- $a$ అనేది $x^2$ గుణకం (గరిష్ట ఘాతం 2 తప్పనిసరిగా ఉండాలి).
- $b$ అనేది $x$ గుణకం మరియు $c$ స్థిరపదం.
- పదాల ఘాతాలు అవరోహణ క్రమంలో ($2, 1, 0$) అమర్చబడి ఉండాలి.
💡 Memory Hook (గుర్తుంచుకోవడానికి సూత్రం)
“ఘాతం 2 ఉండాలి – మొదటి గుణకం $a \ne 0$ అవ్వాలి!”
ఒకవేళ $a = 0$ అయితే అది ఏకఘాత సమీకరణం ($bx + c = 0$) అయిపోతుంది, వర్గ సమీకరణం కాదు.
⚠️ సాధారణ పరీక్ష తప్పు (Common Exam Mistake)
బ్రాకెట్లు ఉన్నప్పుడు చూడగానే నిర్ణయించకూడదు! ఉదాహరణకు $x(x+1)+8 = (x+2)(x-2)$ లో $x^2$ లు ఇరువైపులా రద్దయి $x + 12 = 0$ వస్తుంది. కాబట్టి ఎల్లప్పుడూ సూక్ష్మీకరించిన తర్వాతే తేల్చాలి!
📖 టెక్స్ట్‌బుక్ ఉదాహరణలు 1 & 2 (దశలవారీ సాధనలు) Textbook Examples 1 & 2 (Step-by-Step)
(i) జాన్ మరియు జీవంతి వద్ద కలసి 45 గోళీలు కలవు. ఇద్దరూ చెరి 5 గోళీలు పోగొట్టుకోగా, మిగిలిన గోళీల లబ్దం 124.
దశ 1 (అనుకోనుట): జాన్ వద్ద గల గోళీల సంఖ్య $= x$ అనుకుందాం. అప్పుడు జీవంతి వద్ద గల గోళీల సంఖ్య $= 45 – x$.
దశ 2 (మార్పు): ఇద్దరూ 5 గోళీలను పోగొట్టుకున్న తర్వాత:
జాన్ వద్ద గోళీలు $= x – 5$
జీవంతి వద్ద గోళీలు $= 45 – x – 5 = 40 – x$
దశ 3 (సమీకరణ నిర్మాణం): వాటి లబ్దము = 124:
ఫలితం: కావలసిన వర్గ సమీకరణం $x^2 – 45x + 324 = 0$.
(ii) ఒక కుటీర పరిశ్రమలో ఆరోజు తయారైన ఒక్కొక్క బొమ్మ ఖరీదు (రూపాయలలో) 55 నుండి బొమ్మల సంఖ్యను తీసివేయగా వచ్చును. మొత్తం ఖరీదు ₹750.
దశ 1: ఆ రోజు తయారైన బొమ్మల సంఖ్య $= x$ అనుకుందాం.
దశ 2: ఒక్కొక్క బొమ్మ ఖరీదు $= 55 – x$ రూపాయలు.
దశ 3: మొత్తం ఉత్పత్తి ఖరీదు $= x(55 – x) = 750$:
ఫలితం: కావలసిన వర్గ సమీకరణం $x^2 – 55x + 750 = 0$.
సాధన:
L.H.S $= x^2 – 4x + 4 + 1 = x^2 – 4x + 5$
$x^2 – 4x + 5 = 2x – 3 \implies x^2 – 6x + 8 = 0$
✓ ఇది $ax^2 + bx + c = 0$ రూపంలో ఉంది. కావున ఇది వర్గ సమీకరణం.
సాధన:
L.H.S $= x^2 + x + 8$ ; R.H.S $= x^2 – 4$
$x^2 + x + 8 = x^2 – 4 \implies x + 12 = 0$
✗ ఇందులో $x^2$ పదం లేదు ($a=0$). కావున ఇది వర్గ సమీకరణం కాదు.
సాధన:
$2x^2 + 3x = x^2 + 1 \implies x^2 + 3x – 1 = 0$
✓ ఇది $ax^2 + bx + c = 0$ రూపంలో ఉంది. కావున వర్గ సమీకరణం.
సాధన:
$(x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$
$x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = x^3 – 4 \implies 6x^2 + 12x + 12 = 0 \implies x^2 + 2x + 2 = 0$
✓ $x^3$ రద్దయి $x^2$ ఉంది. కావున ఇది వర్గ సమీకరణం.
పూర్తి పరిష్కారాలు అభ్యాసం 4.1 (Exercise 4.1 Solutions)
1. క్రింది సమీకరణాలు వర్గ సమీకరణాలు అవునో, కాదో నిర్ణయించండి :
(i) $(x+1)^2 = 2(x-3)$
దశ 1: $x^2 + 2x + 1 = 2x – 6$
దశ 2: $x^2 + 2x + 1 – 2x + 6 = 0 \implies x^2 + 7 = 0$
సమాధానం: అవును (వర్గ సమీకరణం, $a=1, b=0, c=7$).
(ii) $x^2 – 2x = (-2)(3 – x)$
దశ 1: $x^2 – 2x = -6 + 2x$
దశ 2: $x^2 – 2x – 2x + 6 = 0 \implies x^2 – 4x + 6 = 0$
సమాధానం: అవును (వర్గ సమీకరణం).
(iii) $(x-2)(x+1) = (x-1)(x+3)$
దశ 1: $x^2 – x – 2 = x^2 + 2x – 3$
దశ 2: $-x – 2 – 2x + 3 = 0 \implies -3x + 1 = 0$
సమాధానం: కాదు (ఘాతం 2 లేదు).
(iv) $(x-3)(2x+1) = x(x+5)$
దశ 1: $2x^2 + x – 6x – 3 = x^2 + 5x$
దశ 2: $2x^2 – 5x – 3 – x^2 – 5x = 0 \implies x^2 – 10x – 3 = 0$
సమాధానం: అవును (వర్గ సమీకరణం).
(v) $(2x-1)(x-3) = (x+5)(x-1)$
దశ 1: $2x^2 – 6x – x + 3 = x^2 – x + 5x – 5$
దశ 2: $2x^2 – 7x + 3 = x^2 + 4x – 5 \implies x^2 – 11x + 8 = 0$
సమాధానం: అవును (వర్గ సమీకరణం).
(vi) $x^2 + 3x + 1 = (x-2)^2$
దశ 1: $x^2 + 3x + 1 = x^2 – 4x + 4$
దశ 2: $3x + 1 + 4x – 4 = 0 \implies 7x – 3 = 0$
సమాధానం: కాదు (వర్గ పదం రద్దయింది).
(vii) $(x+2)^3 = 2x(x^2 – 1)$
దశ 1: $x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 2x^3 – 2x$
దశ 2: $-x^3 + 6x^2 + 14x + 8 = 0$
సమాధానం: కాదు (ఇది ఘన సమీకరణం, పరిమాణం 3).
(viii) $x^3 – 4x^2 – x + 1 = (x-2)^3$
దశ 1: $x^3 – 4x^2 – x + 1 = x^3 – 6x^2 + 12x – 8$
దశ 2: $-4x^2 – x + 1 + 6x^2 – 12x + 8 = 0 \implies 2x^2 – 13x + 9 = 0$
సమాధానం: అవును (వర్గ సమీకరణం).
2. క్రింది సందర్భాలకు సరియగు వర్గ సమీకరణాలను కనుగొనుము:
(i) దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలము వైశాల్యము 528 చ.మీ. పొడవు, వెడల్పు యొక్క రెట్టింపు కంటే 1 మీటరు ఎక్కువ.
దశ 1: స్థలము యొక్క వెడల్పు $= x\text{ m}$ అనుకుందాం.
దశ 2: పొడవు $= (2x + 1)\text{ m}$.
దశ 3: వైశాల్యం = పొడవు $\times$ వెడల్పు $= x(2x + 1) = 528$
దశ 4: $2x^2 + x – 528 = 0$.
కావలసిన వర్గ సమీకరణం: $2x^2 + x – 528 = 0$.
(ii) రెండు వరుస ధన పూర్ణ సంఖ్యల లబ్దము 306.
దశ 1: రెండు వరుస ధన పూర్ణ సంఖ్యలు $x$ మరియు $(x + 1)$ అనుకొనుము.
దశ 2: వాటి లబ్దం $= x(x + 1) = 306$.
దశ 3: $x^2 + x – 306 = 0$.
కావలసిన వర్గ సమీకరణం: $x^2 + x – 306 = 0$.
(iii) రోహన్ తల్లి, రోహన్ కంటే 26 సం॥లు పెద్దది. 3 సం॥ల తర్వాత వారి వయస్సుల లబ్దం 360.
దశ 1: రోహన్ ప్రస్తుత వయస్సు $= x$ సంవత్సరాలు అనుకుందాం. తల్లి ప్రస్తుత వయస్సు $= x + 26$ సంవత్సరాలు.
దశ 2: 3 సంవత్సరాల తర్వాత రోహన్ వయస్సు $= x + 3$, తల్లి వయస్సు $= (x + 26) + 3 = x + 29$.
దశ 3: లబ్దము $= (x + 3)(x + 29) = 360$
దశ 4: $x^2 + 29x + 3x + 87 = 360 \implies x^2 + 32x + 87 – 360 = 0 \implies x^2 + 32x – 273 = 0$.
కావలసిన వర్గ సమీకరణం: $x^2 + 32x – 273 = 0$.
(iv) 480 కి.మీ. దూరమును ఒక రైలు ఏకరీతి వేగముతో ప్రయాణిస్తుంది. వేగం 8 కి.మీ/గం తగ్గితే 3 గంటలు ఎక్కువ సమయం పడుతుంది.
దశ 1: రైలు ఏకరీతి వేగం $= x\text{ km/h}$ అనుకుందాం. ప్రయాణ కాలం $t_1 = \frac{480}{x}$ గంటలు.
దశ 2: వేగం 8 కి.మీ/గం తగ్గినపుడు వేగం $= (x – 8)\text{ km/h}$. అప్పుడు కాలం $t_2 = \frac{480}{x – 8}$ గంటలు.
దశ 3: ఇచ్చిన నియమం ప్రకారం: $t_2 – t_1 = 3$
కావలసిన వర్గ సమీకరణం: $x^2 – 8x – 1280 = 0$.
4.3 కారణాంక పద్ధతిన వర్గ సమీకరణమును సాధించుట 4.3 Solution of Quadratic Equations by Factorisation
మధ్య పదాన్ని విడగొట్టడం (Splitting the middle term) & శూన్యాల లబ్దం నియమం
ఇంటరాక్టివ్ యానిమేషన్: మధ్య పద విభజన దశలు
సమీకరణం: $2x^2 – 5x + 3 = 0$ (టెక్స్ట్‌బుక్ ఉదాహరణ 3)
🔑 Memory Hook (కారణాంక సూత్రం)
మధ్య పదం $b$ ని $p + q = b$ మరియు $p \times q = a \times c$ అయ్యేలా రెండు సంఖ్యలుగా విడగొట్టాలి!
🎯 పరీక్ష చిట్కా (Exam Tip)
సాధనలు కనుగొన్న తర్వాత, వాటిని అసలు సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించి L.H.S = R.H.S = 0 అవుతుందో లేదో సరిచూడండి.
📝 టెక్స్ట్‌బుక్ ఉదాహరణలు 3, 4, 5, 6 (దశలవారీ సాధనలు) Textbook Examples 3, 4, 5, 6 (Step-by-Step)
దశ 1: $a \times c = 2 \times 3 = 6$. మధ్య పదం $-5x$ ను $-2x – 3x$ గా విభజిస్తాం (ఎందుకంటే $(-2) \times (-3) = 6$).
దశ 2: $2x^2 – 2x – 3x + 3 = 0$
దశ 3: $2x(x – 1) – 3(x – 1) = 0 \implies (2x – 3)(x – 1) = 0$
దశ 4: $2x – 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2}$ లేదా $x – 1 = 0 \implies x = 1$.
మూలాలు: $x = 1$ మరియు $x = \frac{3}{2}$.
దశ 1: $a \times c = 6 \times (-2) = -12$. మధ్య పదం $-x$ ను $+3x – 4x$ గా విభజించాలి (ఎందుకంటే $3 \times (-4) = -12$).
దశ 2: $6x^2 + 3x – 4x – 2 = 0$
దశ 3: $3x(2x + 1) – 2(2x + 1) = 0 \implies (3x – 2)(2x + 1) = 0$
దశ 4: $3x – 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}$ లేదా $2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$.
మూలాలు: $x = \frac{2}{3}$ మరియు $x = -\frac{1}{2}$.
దశ 1: $a \times c = 3 \times 2 = 6$. మధ్య పదం $-2\sqrt{6}x$ ను $-\sqrt{6}x – \sqrt{6}x$ గా విభజించాలి (ఎందుకంటే $(-\sqrt{6}) \times (-\sqrt{6}) = 6$).
దశ 2: $3x^2 – \sqrt{6}x – \sqrt{6}x + 2 = 0$
దశ 3: $\sqrt{3}x(\sqrt{3}x – \sqrt{2}) – \sqrt{2}(\sqrt{3}x – \sqrt{2}) = 0 \implies (\sqrt{3}x – \sqrt{2})(\sqrt{3}x – \sqrt{2}) = 0$
దశ 4: $\sqrt{3}x – \sqrt{2} = 0 \implies x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
మూలాలు: సమాన వాస్తవ మూలాలు $\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}$.
దశ 1: $a \times c = 2 \times (-300) = -600$. మధ్య పదం $+x$ ను $-24x + 25x$ గా విభజిస్తాం (లబ్దం $-600$).
దశ 2: $2x^2 – 24x + 25x – 300 = 0 \implies 2x(x – 12) + 25(x – 12) = 0$
దశ 3: $(x – 12)(2x + 25) = 0 \implies x = 12$ లేదా $x = -\frac{25}{2} = -12.5$.
దశ 4: వెడల్పు రుణాత్మకం కాదు, కావున $x = 12\text{ m}$.
మందిరం కొలతలు: వెడల్పు $= 12\text{ m}$, పొడవు $= 2(12) + 1 = 25\text{ m}$.
పూర్తి పరిష్కారాలు అభ్యాసం 4.2 (Exercise 4.2 Solutions)
1. కింది వర్గ సమీకరణాల మూలాలను కారణాంక పద్ధతిలో కనుగొనుము :
దశ 1: మధ్య పదం $-3x = -5x + 2x$ (లబ్దం $-10$).
దశ 2: $x^2 – 5x + 2x – 10 = 0 \implies x(x – 5) + 2(x – 5) = 0$
దశ 3: $(x – 5)(x + 2) = 0 \implies x = 5$ లేదా $x = -2$.
మూలాలు: $5, -2$.
దశ 1: మధ్య పదం $+x = 4x – 3x$ (లబ్దం $2 \times (-6) = -12$).
దశ 2: $2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0 \implies (2x – 3)(x + 2) = 0$
దశ 3: $x = \frac{3}{2}$ లేదా $x = -2$.
మూలాలు: $\frac{3}{2}, -2$.
దశ 1: $a \times c = \sqrt{2} \times 5\sqrt{2} = 10$. మధ్య పదం $7x = 5x + 2x$.
దశ 2: $\sqrt{2}x^2 + 2x + 5x + 5\sqrt{2} = 0 \implies \sqrt{2}x(x + \sqrt{2}) + 5(x + \sqrt{2}) = 0$
దశ 3: $(\sqrt{2}x + 5)(x + \sqrt{2}) = 0 \implies x = -\frac{5}{\sqrt{2}}, x = -\sqrt{2}$.
మూలాలు: $-\sqrt{2}, -\frac{5}{\sqrt{2}}$.
దశ 1: 8 తో గుణించగా: $16x^2 – 8x + 1 = 0$.
దశ 2: మధ్య పదం $-8x = -4x – 4x$ (లబ్దం 16).
దశ 3: $4x(4x – 1) – 1(4x – 1) = 0 \implies (4x – 1)^2 = 0$.
మూలాలు: $\frac{1}{4}, \frac{1}{4}$.
దశ 1: $100 \times 1 = 100$. మధ్య పదం $-20x = -10x – 10x$.
దశ 2: $10x(10x – 1) – 1(10x – 1) = 0 \implies (10x – 1)^2 = 0$.
మూలాలు: $\frac{1}{10}, \frac{1}{10}$.
2 నుండి 6 ప్రశ్నలు (వివరణాత్మక సాధనలు):
ప్రశ్న 2: ఉదాహరణ 1 లోని సమస్యలను సాధించండి:
(i) గోళీల సమస్య: $x^2 – 45x + 324 = 0 \implies x^2 – 36x – 9x + 324 = 0$
$(x – 36)(x – 9) = 0 \implies x = 36$ లేదా $x = 9$.
జాన్ మరియు జీవంతి వద్ద మొదట ఉన్న గోళీలు 36 మరియు 9.
(ii) బొమ్మల సమస్య: $x^2 – 55x + 750 = 0 \implies x^2 – 30x – 25x + 750 = 0$
$(x – 30)(x – 25) = 0 \implies x = 30$ లేదా $x = 25$.
ఆ రోజు ఉత్పత్తి అయిన బొమ్మల సంఖ్య 30 లేదా 25.
ప్రశ్న 3: రెండు సంఖ్యల మొత్తం 27 మరియు వాటి లబ్దం 182 అయ్యే విధంగా ఆ రెండు సంఖ్యలను కనుగొనుము.
దశ 1: ఒక సంఖ్య $x$ అనుకుంటే, రెండవ సంఖ్య $27 – x$ అవుతుంది.
దశ 2: వాటి లబ్దం $x(27 – x) = 182 \implies 27x – x^2 = 182 \implies x^2 – 27x + 182 = 0$.
దశ 3: మధ్య పద విభజన: $-27x = -14x – 13x$ (ఎందుకంటే $(-14) \times (-13) = 182$).
దశ 4: $x(x – 14) – 13(x – 14) = 0 \implies (x – 14)(x – 13) = 0 \implies x = 14$ లేదా $x = 13$.
కావలసిన రెండు సంఖ్యలు 13 మరియు 14.
ప్రశ్న 4: రెండు వరుస ధన పూర్ణ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం 365 అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుము.
దశ 1: రెండు వరుస ధన పూర్ణ సంఖ్యలు $x, x+1$ అనుకుందాం.
దశ 2: వర్గాల మొత్తం: $x^2 + (x+1)^2 = 365 \implies x^2 + x^2 + 2x + 1 = 365$
దశ 3: $2x^2 + 2x – 364 = 0 \implies x^2 + x – 182 = 0$ (2 చే భాగించగా)
దశ 4: $x^2 + 14x – 13x – 182 = 0 \implies (x + 14)(x – 13) = 0 \implies x = 13$ లేదా $x = -14$.
దశ 5: ధన పూర్ణ సంఖ్యలు కావున $x = 13$ తీసుకుంటాం. తర్వాతి సంఖ్య $13 + 1 = 14$.
ఆ సంఖ్యలు 13 మరియు 14.
ప్రశ్న 5: ఒక లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు దాని భూమి కంటే 7 సెం.మీ తక్కువ. కర్ణం పొడవు 13 సెం.మీ అయిన మిగిలిన రెండు భుజాలను కనుగొనుము.
దశ 1: త్రిభుజ భూమి $= x\text{ cm}$ అనుకుందాం. అప్పుడు ఎత్తు (లంబం) $= (x – 7)\text{ cm}$. కర్ణం $= 13\text{ cm}$.
దశ 2 (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం): $(\text{భూమి})^2 + (\text{ఎత్తు})^2 = (\text{కర్ణం})^2$
$x^2 + (x – 7)^2 = 13^2 \implies x^2 + x^2 – 14x + 49 = 169$
$2x^2 – 14x – 120 = 0 \implies x^2 – 7x – 60 = 0$
దశ 3: మధ్య పద విభజన: $x^2 – 12x + 5x – 60 = 0 \implies (x – 12)(x + 5) = 0 \implies x = 12$ లేదా $x = -5$.
దశ 4: భుజం పొడవు రుణాత్మకం కాదు కావున $x = 12\text{ cm}$. ఎత్తు $= 12 – 7 = 5\text{ cm}$.
మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవులు 12 సెం.మీ మరియు 5 సెం.మీ.
ప్రశ్న 6: కుటీర పరిశ్రమలో ఒకరోజు తయారైన ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదు ఆరోజు తయారైన వస్తువుల సంఖ్యకు రెట్టింపు కంటే ₹3 ఎక్కువ. మొత్తం ఖరీదు ₹90 అయిన వస్తువుల సంఖ్య మరియు ఖరీదు కనుగొనుము.
దశ 1: తయారైన వస్తువుల సంఖ్య $= x$ అనుకుందాం. ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదు $= 2x + 3$ రూపాయలు.
దశ 2: మొత్తం ఖరీదు $= x(2x + 3) = 90 \implies 2x^2 + 3x – 90 = 0$.
దశ 3: $a \times c = 2 \times (-90) = -180$. మధ్య పదం $3x = 15x – 12x$.
$2x^2 – 12x + 15x – 90 = 0 \implies 2x(x – 6) + 15(x – 6) = 0 \implies (x – 6)(2x + 15) = 0$
దశ 4: $x = 6$ లేదా $x = -\frac{15}{2}$. వస్తువుల సంఖ్య ధనాత్మకం కావున $x = 6$.
ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదు $= 2(6) + 3 = 12 + 3 = ₹15$.
వస్తువుల సంఖ్య = 6, ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదు = ₹15.
4.4 వర్గ సమీకరణ సూత్రం & మూలాల స్వభావం 4.4 Quadratic Formula & Nature of Roots
శ్రీధరాచార్యుల సూత్రం మరియు విచక్షణి $D = b^2 – 4ac$
మూలాల ఉనికిని నిర్ధారించే పదం $D = b^2 – 4ac$ ని విచక్షణి (Discriminant) అంటారు.
📈 ఇంటరాక్టివ్ యానిమేషన్: విచక్షణి $D$ మరియు గ్రాఫ్ ఖండన బిందువులు
విచక్షణి $D$ మారే కొద్దీ పరావలయం (Parabola) X-అక్షాన్ని తాకే విధానం ఎలా మారుతుందో చూడండి.
పరావలయం X-అక్షాన్ని కేవలం ఒకే ఒక బిందువు వద్ద తాకుతుంది. మూలాలు సమానం: $x = -\frac{b}{2a}$.
| విచక్షణి విలువ ($D = b^2 – 4ac$) | మూలాల స్వభావం (Nature of Roots) | రేఖాగణిత అర్థం (గ్రాఫ్) |
|---|---|---|
| $b^2 – 4ac > 0$ | రెండు విభిన్న వాస్తవ మూలాలు ($x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$) | గ్రాఫ్ X-అక్షాన్ని రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది |
| $b^2 – 4ac = 0$ | రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు ($x = -\frac{b}{2a}, -\frac{b}{2a}$) | గ్రాఫ్ X-అక్షాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద తాకుతుంది (స్పర్శరేఖ) |
| $b^2 – 4ac < 0$ | వాస్తవ మూలాలు లేవు (No Real Roots) | గ్రాఫ్ X-అక్షాన్ని అస్సలు తాకదు / ఖండించదు |
🎯 టెక్స్ట్‌బుక్ ఉదాహరణలు 7, 8, 9 (దశలవారీ సాధనలు) Textbook Examples 7, 8, 9 (Step-by-Step)
దశ 1: $ax^2 + bx + c = 0$ తో పోల్చగా: $a = 2, b = -4, c = 3$.
దశ 2 (విచక్షణి): $D = b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4(2)(3) = 16 – 24 = -8$.
దశ 3: ఇక్కడ $D = -8 < 0$ (రుణాత్మకం).
ఫలితం: ఇవ్వబడిన సమీకరణానికి ఎటువంటి వాస్తవ మూలాలు లేవు (No real roots).
దశ 1: B గేటు నుండి P కి గల దూరం $BP = x\text{ m}$ అనుకుందాం. దూరాల తేడా 7 మీ. కావున $AP = (x + 7)\text{ m}$.
దశ 2: $AB = 13\text{ m}$ వ్యాసం కావున, అర్థవృత్తంలోని కోణం $\angle APB = 90^\circ$.
దశ 3 (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం): $AP^2 + PB^2 = AB^2$
$(x + 7)^2 + x^2 = 13^2 \implies x^2 + 14x + 49 + x^2 = 169$
$2x^2 + 14x – 120 = 0 \implies x^2 + 7x – 60 = 0$
దశ 4 (సాధ్యత తనిఖీ): $D = b^2 – 4ac = 7^2 – 4(1)(-60) = 49 + 240 = 289 > 0$.
$D > 0$ కావున స్తంభాన్ని ఏర్పాటు చేయడం సాధ్యమే!
దశ 5 (సూత్రం ద్వారా సాధన): $x = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-7 \pm 17}{2}$.
$x = \frac{10}{2} = 5$ లేదా $x = \frac{-24}{2} = -12$ (దూరం ధనాత్మకం, కాబట్టి $x = 5$).
స్తంభం దూరం: గేట్ B నుండి 5 మీటర్లు, గేట్ A నుండి $5 + 7 = 12$ మీటర్లు.
దశ 1: $a = 3, b = -2, c = \frac{1}{3}$.
దశ 2: $D = b^2 – 4ac = (-2)^2 – 4 \times 3 \times \frac{1}{3} = 4 – 4 = 0$.
దశ 3: $D = 0$ కావున సమీకరణానికి రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు కలవు.
దశ 4: మూలాలు $= \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2(3)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
సమాన మూలాలు: $\frac{1}{3}, \frac{1}{3}$.
పూర్తి పరిష్కారాలు అభ్యాసం 4.3 (Exercise 4.3 Solutions)
1. క్రింది వర్గ సమీకరణాల మూలాల స్వభావం కనుగొనుము. ఒకవేళ వాస్తవ మూలాలు ఉంటే వాటిని కనుగొనుము :
దశ 1: $a=2, b=-3, c=5$
దశ 2: $D = (-3)^2 – 4(2)(5) = 9 – 40 = -31$
దశ 3: $D < 0$
వాస్తవ మూలాలు లేవు (No real roots).
దశ 1: $a=3, b=-4\sqrt{3}, c=4$
దశ 2: $D = (-4\sqrt{3})^2 – 4(3)(4) = 48 – 48 = 0$
దశ 3: $D = 0$ (రెండు సమాన మూలాలు)
దశ 4: $x = \frac{-b}{2a} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
మూలాలు: $\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}$.
దశ 1: $a=2, b=-6, c=3$
దశ 2: $D = (-6)^2 – 4(2)(3) = 36 – 24 = 12 > 0$
దశ 3: రెండు విభిన్న వాస్తవ మూలాలు కలవు
దశ 4: $x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(2)} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$
మూలాలు: $\frac{3+\sqrt{3}}{2}, \frac{3-\sqrt{3}}{2}$.
2. క్రింది వర్గ సమీకరణాలలో ప్రతిదానికి రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు ఉంటే $k$ విలువను కనుగొనుము:
నిబంధన: రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు ఉండుటకు విచక్షణి $D = b^2 – 4ac = 0$ కావాలి.
దశ 1: $a = 2, b = k, c = 3$.
దశ 2: $b^2 – 4ac = 0 \implies k^2 – 4(2)(3) = 0$
దశ 3: $k^2 – 24 = 0 \implies k^2 = 24 \implies k = \pm\sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$.
జవాబు: $k = \pm 2\sqrt{6}$.
దశ 1: ప్రామాణిక రూపంలోకి మార్చగా: $kx^2 – 2kx + 6 = 0$.
దశ 2: $a = k, b = -2k, c = 6$.
దశ 3: $b^2 – 4ac = 0 \implies (-2k)^2 – 4(k)(6) = 0$
దశ 4: $4k^2 – 24k = 0 \implies 4k(k – 6) = 0$.
దశ 5: $k = 0$ లేదా $k = 6$. కానీ $k=0$ అయితే ఇది వర్గ సమీకరణం కాదు ($a \ne 0$). కావున $k = 6$.
జవాబు: $k = 6$.
ప్రశ్న 3: పొడవు వెడల్పు కంటే రెండు రెట్లు మరియు వైశాల్యం 800 చ.మీ ఉండేలా దీర్ఘచతురస్రాకార మామిడి తోటను ఏర్పాటు చేయగలమా? చేయగలిగితే పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము.
దశ 1: వెడల్పు $= x\text{ m}$ అనుకుందాం. అప్పుడు పొడవు $= 2x\text{ m}$.
దశ 2: వైశాల్యం $= x \times 2x = 800 \implies 2x^2 = 800 \implies x^2 = 400 \implies x^2 – 400 = 0$.
దశ 3: ఇక్కడ $a = 1, b = 0, c = -400$. విచక్షణి $D = 0^2 – 4(1)(-400) = 1600 > 0$.
దశ 4: $D > 0$ కావున ఇటువంటి తోటను ఏర్పాటు చేయడం సాధ్యమే.
దశ 5: $x = \sqrt{400} = 20\text{ m}$ (వెడల్పు ధనాత్మకం). పొడవు $= 2(20) = 40\text{ m}$.
కొలతలు: వెడల్పు = 20 మీటర్లు, పొడవు = 40 మీటర్లు.
ప్రశ్న 4: ఇద్దరు మిత్రుల వయస్సుల మొత్తం 20 సంవత్సరాలు. 4 సంవత్సరాల క్రితం వారి వయస్సుల లబ్దం 48. ఈ సందర్భం సాధ్యమవుతుందా? సాధ్యమైతే ప్రస్తుత వయస్సులను కనుగొనుము.
దశ 1: ఒక మిత్రుని ప్రస్తుత వయస్సు $= x$ సం॥ అనుకుందాం. రెండవ మిత్రుని వయస్సు $= 20 – x$ సం॥.
దశ 2: 4 సంవత్సరాల క్రితం వారి వయస్సులు: $(x – 4)$ మరియు $(20 – x – 4) = (16 – x)$.
దశ 3: వాటి లబ్దం $= (x – 4)(16 – x) = 48$
$16x – x^2 – 64 + 4x = 48 \implies -x^2 + 20x – 64 – 48 = 0 \implies x^2 – 20x + 112 = 0$.
దశ 4 (విచక్షణి తనిఖీ): $a = 1, b = -20, c = 112$.
$D = b^2 – 4ac = (-20)^2 – 4(1)(112) = 400 – 448 = -48 < 0$.
ఫలితం: $D < 0$ కావున వాస్తవ మూలాలు లేవు. కాబట్టి ఈ సందర్భం సాధ్యం కాదు (Not possible).
ప్రశ్న 5: చుట్టుకొలత 80 మీటర్లు మరియు వైశాల్యం 400 చ.మీ ఉండునట్లు ఒక దీర్ఘచతురస్రాకారపు పార్కును ఏర్పాటు చేయగలమా? చేయగలిగితే పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము.
దశ 1: చుట్టుకొలత $2(l + b) = 80 \implies l + b = 40 \implies$ పొడవు $l = (40 – x)$, వెడల్పు $b = x$ అనుకుందాం.
దశ 2: వైశాల్యం $= x(40 – x) = 400 \implies 40x – x^2 = 400 \implies x^2 – 40x + 400 = 0$.
దశ 3: విచక్షణి $D = (-40)^2 – 4(1)(400) = 1600 – 1600 = 0$.
దశ 4: $D = 0$ కావున ఇటువంటి పార్కును ఏర్పాటు చేయడం సాధ్యమే (సమాన వాస్తవ మూలాలు).
దశ 5: $(x – 20)^2 = 0 \implies x = 20\text{ m}$. పొడవు $= 40 – 20 = 20\text{ m}$.
కొలతలు: పొడవు = 20 మీటర్లు, వెడల్పు = 20 మీటర్లు (ఇది ఒక చతురస్రం అవుతుంది).
📋 4.5 అధ్యాయ సారాంశం & ఫార్ములా షీట్ 4.5 Summary & Comprehensive Formula Sheet
టెక్స్ట్‌బుక్ ఆధారంగా పరీక్షలకు వేగంగా పునర్విమర్శ (Quick Revision) చేసుకోవడానికి అధికారిక సూత్రాల పట్టిక.
ప్రామాణిక రూపం (Standard Form)
ఇక్కడ $a, b, c$ లు వాస్తవ సంఖ్యలు. బహుపది పరిమాణం ఖచ్చితంగా 2 ఉండాలి.
వర్గ సమీకరణ సూత్రం (Quadratic Formula)
శ్రీధరాచార్యుల సూత్రం. ఇది $b^2 – 4ac \ge 0$ అయినప్పుడు మాత్రమే వర్తిస్తుంది.
⚡ విచక్షణి మరియు మూలాల స్వభావ విశ్లేషణ పట్టిక
| క్ర.సం. | విచక్షణి విలువ ($D = b^2 – 4ac$) | మూలాల స్వభావం | మూలాల విలువలు | గ్రాఫ్ వివరణ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $b^2 – 4ac > 0$ | రెండు వేర్వేరు వాస్తవ మూలాలు | $\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \frac{-b – \sqrt{D}}{2a}$ | X-అక్షాన్ని రెండు చోట్ల ఖండిస్తుంది |
| 2 | $b^2 – 4ac = 0$ | రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు | $-\frac{b}{2a}, -\frac{b}{2a}$ | X-అక్షాన్ని కేవలం ఒకే చోట తాకుతుంది |
| 3 | $b^2 – 4ac < 0$ | వాస్తవ మూలాలు ఉండవు | ఏ వాస్తవ మూలాలు లేవు | గ్రాఫ్ X-అక్షాన్ని తాకదు |
📝 స్వయం ధృవీకరణ క్విజ్ (Self-Check Practice Quiz)
3 ప్రశ్నలు1. $2x^2 – 4x + 3 = 0$ వర్గ సమీకరణం యొక్క విచక్షణి $D$ ఎంత?
2. $ax^2 + bx + c = 0$ నందు సమాన మూలాలు ఉంటే నిబంధన ఏమిటి?
3. ఒక వర్గ సమీకరణానికి గరిష్టంగా ఎన్ని మూలాలు ఉండవచ్చు?