10వ తరగతి గణితం – అధ్యాయం 2: బహుపదులు (Polynomials)

అధ్యాయం 2

బహుపదులు (Polynomials) Polynomials (బహుపదులు)

10వ తరగతి గణిత పాఠ్యపుస్తకం ఆధారిత డిజిటల్ బోర్డ్ Class 10 AP/TS State Board Digital Interactive Board

f(x)

తరగతి 10 • అధ్యాయం 2

బహుపదుల ప్రపంచంలోకి స్వాగతం! Welcome to the World of Polynomials!

బహుపది అంటే ఏమిటి? దాని పరిమాణం (Degree) అంటే ఏమిటి? రేఖీయ, వర్గ, ఘన బహుపదుల శూన్యాలు గ్రాఫ్‌లపై ఎలా కనిపిస్తాయో ప్రాక్టికల్ యానిమేషన్స్ ద్వారా స్పష్టంగా నేర్చుకుందాం. Explore the degree of polynomials, linear, quadratic, and cubic expressions, and see how their zeroes appear as real intersections on coordinate graphs.

బహుపది పరిమాణం (Degree) Degree of a Polynomial

బహుపది $p(x)$ లో చరరాశి $x$ యొక్క గరిష్ఠ ఘాతాన్ని (highest power) ఆ బహుపది పరిమాణం (Degree) అంటారు. If $p(x)$ is a polynomial in $x$, the highest power of $x$ in $p(x)$ is called the degree of the polynomial.

$4x + 2 \rightarrow$ పరిమాణం 1

$2y^2 – 3y + 4 \rightarrow$ పరిమాణం 2

$5x^3 – 4x^2 + x – \sqrt{2} \rightarrow$ పరిమాణం 3

బహుపదుల వర్గీకరణ Classification of Polynomials

• రేఖీయ (Linear): పరిమాణం 1 ($ax+b, a \neq 0$)
• వర్గ (Quadratic): పరిమాణం 2 ($ax^2+bx+c, a \neq 0$)
• ఘన (Cubic): పరిమాణం 3 ($ax^3+bx^2+cx+d, a \neq 0$)

గమనిక: $\frac{1}{x-1}, \sqrt{x}+2, \frac{1}{x^2+2x+3}$ వంటి సమాసాలు బహుపదులు కావు! Note: Expressions like $\frac{1}{x-1}, \sqrt{x}+2$ are NOT polynomials!

బహుపది శూన్య విలువ (Zero of Polynomial) Zero of a Polynomial

ఒక వాస్తవ సంఖ్య $k$ వద్ద $p(k) = 0$ అయితే, $k$ ను బహుపది $p(x)$ కు శూన్య విలువ (Zero) అంటారు. A real number $k$ is said to be a zero of a polynomial $p(x)$ if $p(k) = 0$.

ఉదాహరణ: $p(x) = 2x + 3$

$2k + 3 = 0 \implies k = -\frac{3}{2}$

అనగా $-\frac{3}{2}$ అనేది ఈ రేఖీయ బహుపది శూన్యం.

ఇంటరాక్టివ్ విజువల్ లాబ్

యానిమేటెడ్ కర్వ్ ట్రాన్స్‌ఫర్మేషన్ (Curve Animation) Animated Curve Transformation

గుణకాలు మారేకొద్దీ గీత సరళరేఖ నుంచి పరావలయం (Parabola) గా ఎలా మారుతుందో చూడండి! Observe how the graph transforms from linear straight line to parabola dynamically!

y = 0.50x² – 1.00x – 2.00

గ్రాఫ్ లక్షణాలు (Properties) Graph Properties

1. పరిమాణం 1 (రేఖీయ): గ్రాఫ్ ఎల్లప్పుడూ ఒక సరళరేఖ (Straight line). X-అక్షాన్ని సరిగ్గా 1 బిందువు వద్ద ఖండిస్తుంది.

2. పరిమాణం 2 (వర్గ): గ్రాఫ్ పరావలయం (Parabola). $a > 0$ అయితే పైకి తెరచుకుంటుంది ($\cup$), $a < 0$ అయితే కిందకు తెరచుకుంటుంది ($\cap$).

3. శూన్యాల అర్థం (Zeroes): వక్రము X-అక్షాన్ని ఎక్కడ ఖండిస్తుందో ఆ బిందువుల X-నిరూపకాలే శూన్యాలు!

వార్మ్-అప్ యాక్టివిటీ

బహుపదుల వర్గీకరణ & పరిమాణం కనుగొనండి! Identify Degree & Classify Polynomials!

కింది సమాసాలను పరిశీలించి సరైన వర్గాన్ని ఎంచుకోండి. స్వయం ప్రతిస్పందనను పొందండి: Select the correct classification and degree for each expression:

సెక్షన్ 2.2

బహుపది శూన్యాలకు జ్యామితీయ భావం (Geometrical Meaning of Zeroes) Geometrical Meaning of the Zeroes of a Polynomial

రేఖాచిత్రంలో బహుపది వక్రం X-అక్షాన్ని ఎక్కడ ఖండిస్తుందో ఆ బిందువుల X-నిరూపకాలే శూన్యాలు. The zeroes of a polynomial $p(x)$ are precisely the x-coordinates of the points where $y=p(x)$ intersects the x-axis.

వర్గ బహుపది ($ax^2+bx+c$) యొక్క 3 జ్యామితీయ సందర్భాలు The Three Geometric Cases of a Quadratic Parabola

సందర్భం (i) / Case 1 2 శూన్యాలు

రెండు వేర్వేరు బిందువులు

పరావలయం X-అక్షాన్ని $A$ మరియు $A’$ అను రెండు విభిన్న బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది. ఇక్కడ 2 వాస్తవ శూన్యాలు ఉంటాయి.

సందర్భం (ii) / Case 2 1 శూన్యం

ఏకీభవించే బిందువు (స్పర్శించుట)

పరావలయం X-అక్షాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద తాకుతుంది (రెండు బిందువులు ఏకీభవిస్తాయి). ఇక్కడ 1 సమాన శూన్యం ఉంటుంది.

సందర్భం (iii) / Case 3 0 శూన్యాలు

ఖండించని సందర్భం

పరావలయం పూర్తిగా X-అక్షం పైన లేదా క్రింద ఉండి, అక్షాన్ని అస్సలు తాకదు. కావున దీనికి వాస్తవ శూన్యాలు ఉండవు.

💡

ముఖ్య నిర్ధారణ (Key Theorem)

‘$n$’ వ పరిమాణం కలిగిన బహుపది $p(x)$ రేఖాచిత్రం X-అక్షాన్ని గరిష్ఠముగా ‘$n$’ బిందువుల వద్ద మాత్రమే ఖండిస్తుంది. కావున $n$ పరిమాణ బహుపదికి గరిష్ఠంగా $n$ శూన్యాలు మాత్రమే ఉంటాయి.

లైవ్ గ్రాఫ్ యానిమేషన్

$y = x^2 – 3x – 4$ పరావలయం నిర్మాణం (Step-by-Step Graphing)

టెక్స్ట్‌బుక్ పట్టిక 2.1 లోని బిందువులను గుర్తించి పరావలయం ఎలా గీయబడుతుందో దశలవారీగా చూడండి.

దశ 0 / 7

ప్రారంభం: అక్షాల రూపకల్పన

క్రింది పట్టికలోని బిందువులను X, Y నిరూపక అక్షాలపై గుర్తించడం ద్వారా పరావలయం నిర్మించబడుతుంది.

టెక్స్ట్‌బుక్ పట్టిక 2.1: $y = x^2 – 3x – 4$

x	-2	-1	0	1	2	3	4	5
y	6	0	-4	-6	-6	-4	0	6

గమనిక: $y=0$ అయిన బిందువులు $(-1, 0)$ మరియు $(4, 0)$. ఇవే శూన్యాలు!

టెక్స్ట్‌బుక్ ఉదాహరణ 1 (Example 1)

పటం 2.9 లోని గ్రాఫ్‌ల నుండి శూన్యాల సంఖ్యను కనుగొనండి

ప్రతి గ్రాఫ్‌ను పరిశీలించండి. వక్రం X-అక్షాన్ని ఎన్ని బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుందో లేదా తాకుతుందో లెక్కించండి:

అభ్యాసం 2.1 (Exercise 2.1)

పూర్తి ఎక్సర్‌సైజ్ 2.1 పరిష్కారాలు (All 6 Problems Step-by-Step)

ప్రశ్న: కొన్ని బహుపదుల $p(x)$ యొక్క రేఖాచిత్రాల $y=p(x)$ పటాలు కింద పటం 2.10 లో ఇవ్వబడ్డాయి. ప్రతి సందర్భాన్ని పరిశీలించి $p(x)$ యొక్క శూన్యాల సంఖ్యను తెలపండి.

🧠 గుర్తుంచుకోవడానికి సులభ సూత్రం (Memory Hook)

“X-ఖండనమే బహుపది జీవం – ఎన్ని ఖండనలో అన్ని శూన్యాలు!“
గ్రాఫ్ Y-అక్షాన్ని ఎక్కడ ఖండించినా పట్టించుకోవద్దు. కేవలం X-అక్షాన్ని తాకిన లేదా ఖండించిన బిందువులను మాత్రమే లెక్కించాలి.

⚠️ విద్యార్థులు చేసే సాధారణ తప్పులు (Common Errors)

గ్రాఫ్ Y-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువును కూడా కొందరు పొరపాటున శూన్యంగా లెక్కిస్తారు. గుర్తుంచుకోండి: $y = p(x)$ లో శూన్యం అనగా $y = 0$, ఇది X-అక్షం మీద మాత్రమే సంభవిస్తుంది!

సెక్షన్ 2.3

బహుపది గుణకాలకు, శూన్యాలకు మధ్య సంబంధము Relationship between Zeroes and Coefficients

వర్గ మరియు ఘన బహుపదుల శూన్యాలు ($\alpha, \beta, \gamma$) వాటి గుణకాలతో ఖచ్చితమైన బీజగణిత సంబంధాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

వర్గ బహుపది (Quadratic) పరిమాణం 2

సాధారణ రూపం: $ax^2 + bx + c, \; a \neq 0$

$\alpha, \beta$ లు బహుపది శూన్యాలు అయితే:

శూన్యాల మొత్తము (Sum of Zeroes)

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = \frac{-(x \text{ యొక్క గుణకము})}{x^2 \text{ యొక్క గుణకము}}$

శూన్యాల లబ్దము (Product of Zeroes)

$\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{\text{స్థిర పదము}}{x^2 \text{ యొక్క గుణకము}}$

శూన్యాలు ఇచ్చినప్పుడు వర్గ బహుపది రూపం

$k[x^2 – (\alpha + \beta)x + \alpha\beta]$ ($k$ ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య, $k \neq 0$)

ఘన బహుపది (Cubic) పరిమాణం 3

సాధారణ రూపం: $ax^3 + bx^2 + cx + d, \; a \neq 0$

$\alpha, \beta, \gamma$ లు ఘన బహుపది శూన్యాలు అయితే:

శూన్యాల మొత్తము

$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} = \frac{-(x^2 \text{ యొక్క గుణకము})}{x^3 \text{ యొక్క గుణకము}}$

రెండేసి శూన్యాల లబ్దాల మొత్తము

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} = \frac{x \text{ యొక్క గుణకము}}{x^3 \text{ యొక్క గుణకము}}$

శూన్యాల లబ్దము

$\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} = \frac{-(\text{స్థిర పదము})}{x^3 \text{ యొక్క గుణకము}}$

దశలవారీ యానిమేషన్

మధ్య పద విభజన యానిమేషన్ (Splitting the Middle Term)

$2x^2 – 8x + 6$ బహుపదిలో మధ్య పదం $-8x$ ను విభజించి శూన్యాలు కనుగొనే విధానం ప్రత్యక్షంగా చూడండి.

టెక్స్ట్‌బుక్ ఉదాహరణల సాధనలు (Examples 2, 3, 4, 5* Step-by-Step)

ఉదాహరణ 2 (Example 2) పేజీ 41-42

ప్రశ్న: $x^2 + 7x + 10$ వర్గ బహుపది శూన్యాలను కనుగొని, శూన్యాలకు బహుపది గుణకాలకు మధ్య సంబంధాన్ని సరిచూడండి.

దశ 1: మధ్య పదాన్ని విభజించి కారణాంకాలుగా మార్చుట

ఇచ్చిన బహుపది: $p(x) = x^2 + 7x + 10$

లబ్దం = $10 \times 1 = 10$, మొత్తం = $7 \implies 5 \times 2 = 10$ మరియు $5 + 2 = 7$

$x^2 + 7x + 10 = x^2 + 5x + 2x + 10$

$= x(x + 5) + 2(x + 5) = (x + 2)(x + 5)$

దశ 2: శూన్య విలువలను లెక్కించుట

$p(x) = 0 \implies (x + 2)(x + 5) = 0$

$x + 2 = 0 \implies x = -2$ లేదా $x + 5 = 0 \implies x = -5$

కావున శూన్యాలు: $\alpha = -2$, $\beta = -5$

దశ 3: గుణకాలతో సంబంధాన్ని సరిచూచుట

ఇక్కడ $a = 1, b = 7, c = 10$

1. శూన్యాల మొత్తం: $\alpha + \beta = (-2) + (-5) = -7 = -\frac{7}{1} = -\frac{b}{a} = \frac{-(x \text{ గుణకము})}{x^2 \text{ గుణకము}}$ (సరిచూడబడింది)

2. శూన్యాల లబ్దం: $\alpha \beta = (-2) \times (-5) = 10 = \frac{10}{1} = \frac{c}{a} = \frac{\text{స్థిర పదము}}{x^2 \text{ గుణకము}}$ (సరిచూడబడింది)

ఉదాహరణ 3 (Example 3) పేజీ 41-42

ప్రశ్న: $x^2 – 3$ అను వర్గ బహుపది శూన్యాలను కనుగొని, శూన్యాలకు బహుపది గుణకాలకు మధ్య సంబంధాన్ని సరిచూడండి.

దశ 1: బీజగణిత సర్వసమీకరణాన్ని ఉపయోగించుట

$a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)$ సూత్రం ప్రకారం:

$x^2 – 3 = x^2 – (\sqrt{3})^2 = (x – \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$

దశ 2: శూన్య విలువలను లెక్కించుట

$x – \sqrt{3} = 0 \implies x = \sqrt{3}$ లేదా $x + \sqrt{3} = 0 \implies x = -\sqrt{3}$

కావున శూన్యాలు: $\alpha = \sqrt{3}$, $\beta = -\sqrt{3}$

దశ 3: సంబంధాన్ని సరిచూచుట

$x^2 – 3$ ను $ax^2 + bx + c$ తో పోల్చగా: $a = 1, b = 0, c = -3$

1. శూన్యాల మొత్తం: $\alpha + \beta = \sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0 = -\frac{0}{1} = -\frac{b}{a}$

2. శూన్యాల లబ్దం: $\alpha \beta = (\sqrt{3}) \times (-\sqrt{3}) = -3 = \frac{-3}{1} = \frac{c}{a}$ (సరిచూడబడింది)

ఉదాహరణ 4 (Example 4) పేజీ 43

ప్రశ్న: ఒక వర్గ బహుపది శూన్యాల మొత్తము మరియు లబ్దము వరుసగా -3 మరియు 2 అయిన, ఆ వర్గ బహుపదిని కనుగొనండి.

దశ 1: ఇచ్చిన విలువలు గుర్తించుట

శూన్యాల మొత్తం: $\alpha + \beta = -3 = -\frac{b}{a}$

శూన్యాల లబ్దం: $\alpha \beta = 2 = \frac{c}{a}$

దశ 2: సూత్రంలో ప్రతిక్షేపించుట

శూన్యాలు తెలిసినప్పుడు బహుపది సాధారణ రూపం: $p(x) = k[x^2 – (\alpha + \beta)x + \alpha\beta]$

$p(x) = k[x^2 – (-3)x + 2] = k[x^2 + 3x + 2]$

దశ 3: బహుపదిని నిర్ధారించుట

$k = 1$ తీసుకుంటే, కావలసిన వర్గ బహుపది: $x^2 + 3x + 2$

ఉదాహరణ 5* (Example 5) ఘన బహుపది

ప్రశ్న: ఘన బహుపది $p(x) = 3x^3 – 5x^2 – 11x – 3$ యొక్క శూన్యాలు $3, -1, -\frac{1}{3}$ అగునని చూపండి, గుణకాలకు శూన్యాలకు మధ్యగల సంబంధాన్ని సరిచూడండి.

దశ 1: శూన్య విలువలను సరిచూచుట ($p(k) = 0$)

• $p(3) = 3(3)^3 – 5(3)^2 – 11(3) – 3 = 81 – 45 – 33 – 3 = 0$

• $p(-1) = 3(-1)^3 – 5(-1)^2 – 11(-1) – 3 = -3 – 5 + 11 – 3 = 0$

• $p(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{27}) – 5(\frac{1}{9}) – 11(-\frac{1}{3}) – 3 = -\frac{1}{9} – \frac{5}{9} + \frac{11}{3} – 3 = -\frac{6}{9} + \frac{2}{3} = 0$

కావున $3, -1, -\frac{1}{3}$ లు ఖచ్చితంగా శూన్యాలు. $\alpha = 3, \beta = -1, \gamma = -\frac{1}{3}$

దశ 2: గుణకాలతో 3 సంబంధాలను సరిచూచుట

సమీకరణం $ax^3+bx^2+cx+d$ తో పోల్చగా: $a = 3, b = -5, c = -11, d = -3$

1. శూన్యాల మొత్తం: $\alpha + \beta + \gamma = 3 + (-1) + (-\frac{1}{3}) = 2 – \frac{1}{3} = \frac{5}{3} = -\frac{(-5)}{3} = -\frac{b}{a}$

2. రెండేసి లబ్దాల మొత్తం: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (3)(-1) + (-1)(-\frac{1}{3}) + (-\frac{1}{3})(3) = -3 + \frac{1}{3} – 1 = -4 + \frac{1}{3} = -\frac{11}{3} = \frac{c}{a}$

3. శూన్యాల లబ్దం: $\alpha\beta\gamma = (3) \times (-1) \times (-\frac{1}{3}) = 1 = -\frac{(-3)}{3} = -\frac{d}{a}$ (సరిచూడబడింది)

అభ్యాసం 2.2 (Exercise 2.2)

పూర్తి ఎక్సర్‌సైజ్ 2.2 సాధనలు (All Sub-questions Solved)

ప్రశ్న 1 (అన్ని 6 ఉపప్రశ్నలు) మరియు ప్రశ్న 2 (అన్ని 6 ఉపప్రశ్నలు) పరీక్షా ప్రమాణాల ప్రకారం దశలవారీగా:

ప్రశ్న 1: క్రింది ఇవ్వబడిన వర్గ బహుపదుల శూన్యాలను కనుగొని, బహుపది శూన్యాలకు, గుణకాలకు మధ్య గల సంబంధాన్ని సరిచూడండి?

ప్రశ్న 2: ఒక వర్గ బహుపది శూన్యాల మొత్తము ($\alpha+\beta$), శూన్యాల లబ్దములు ($\alpha\beta$) ఇవ్వబడినవి. వీటి నుంచి ఆ వర్గ బహుపదిని కనుగొనుము.

సమగ్ర రివిజన్

ఫార్ములా & డెఫినిషన్ మాస్టర్ షీట్ (Formula & Summary Sheet) Formula & Definition Master Sheet

పరీక్షల పునర్విమర్శ కోసం బహుపదుల ముఖ్య సూత్రాలు మరియు పోలికల పట్టిక.

బహుపదుల తులనాత్మక పట్టిక (Comparative Matrix)

10వ తరగతి గణితం

లక్షణం (Feature)	రేఖీయ బహుపది (Linear)	వర్గ బహుపది (Quadratic)	ఘన బహుపది (Cubic)
పరిమాణం (Degree)	1	2	3
సాధారణ రూపం (General Form)	$ax + b, \; a \neq 0$	$ax^2 + bx + c, \; a \neq 0$	$ax^3 + bx^2 + cx + d, \; a \neq 0$
గరిష్ఠ శూన్యాలు (Max Zeroes)	ఖచ్చితంగా 1	గరిష్ఠంగా 2 (2, 1 లేదా 0)	గరిష్ఠంగా 3 (3, 2 లేదా 1)
రేఖాచిత్ర ఆకారం (Graph Shape)	సరళరేఖ (Straight line)	పరావలయం (Parabola: $\cup$ లేదా $\cap$)	S-ఆకారపు వక్రము (Cubic Curve)
శూన్యాల సంబంధాలు (Relationships)	$k = -\frac{b}{a}$	$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ $\alpha\beta = \frac{c}{a}$	$\alpha+\beta+\gamma = -\frac{b}{a}$ $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{c}{a}$ $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$

📌 టెక్స్ట్‌బుక్ సారాంశము (Summary Highlights)

1, 2 మరియు 3 పరిమాణంగా గల బహుపదులను వరుసగా రేఖీయ, వర్గ, ఘన బహుపదులు అంటారు.
వాస్తవ గుణకాలు కలిగి ఉండి, $x$ చరరాశిగా గలిగిన వర్గ బహుపది సాధారణ రూపము $ax^2+bx+c, \; a \neq 0$ మరియు $a, b, c$ లు వాస్తవ సంఖ్యలు.
బహుపది శూన్యాలు, బహుపది సమీకరణం $p(x)$ యొక్క రేఖా చిత్రము $y=p(x)$, X-అక్షాన్ని ఖండించినప్పుడు ఏర్పడిన బిందువుల X-నిరూపకాలు అవుతాయి.
వర్గ బహుపదికి గరిష్ఠంగా 2 శూన్యాలు, ఘన బహుపదికి గరిష్ఠంగా 3 శూన్యాలు మాత్రమే ఉంటాయి.
$\alpha, \beta$ అనునవి $ax^2+bx+c$ వర్గ బహుపది శూన్యాలు అయిన $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}, \; \alpha\beta = \frac{c}{a}$.
$\alpha, \beta, \gamma$ అనునవి ఘన బహుపది $ax^3+bx^2+cx+d$ శూన్యాలు అయిన $\alpha+\beta+\gamma = -\frac{b}{a}, \; \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{c}{a}, \; \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$.

10Th Class:2.Polynomials