10th Class: 11.Areas Related to Circles

by
AP SCERT • 10వ తరగతి గణితం (సెమిస్టర్-2)

అధ్యాయం 11: వృత్తాలకు సంబంధించిన వైశాల్యాలు (Areas Related to Circles)

త్రిజ్యాంతరం (Sector) & వృత్త ఖండం (Segment) — ప్రధాన సూత్రాలు

కేంద్ర కోణం θ మరియు వ్యాసార్థం r మార్చినప్పుడు చాపం పొడవు, సెక్టర్ వైశాల్యం, వృత్త ఖండ వైశాల్యం ఎలా మారతాయో చూడండి.

11.1 (i) వృత్త త్రిజ్యాంతర వైశాల్యం & చాపం పొడవు (Sector Area & Arc Length)

📖 నిర్వచనం (Definition)

రెండు వ్యాసార్థాలు OA, OB మరియు సంబంధిత చాపం APB లచే ఆవరింపబడిన వృత్త ప్రదేశాన్ని త్రిజ్యాంతరము (Sector) అంటారు. θ < 180° అయితే అల్ప త్రిజ్యాంతరము (Minor Sector), మిగిలిన భాగం అధిక త్రిజ్యాంతరము (Major Sector, కోణం 360° − θ).

సెక్టర్ వైశాల్యం = θ360° × πr2  |  చాపం పొడవు (l) = θ360° × 2πr
అధిక త్రిజ్యాంతర వైశాల్యం = πr2 − అల్ప త్రిజ్యాంతర వైశాల్యం
💡 ఓహో! వృత్తం మొత్తం 360° లో మన కోణం θ ఎంత భాగమో (θ/360°), వృత్త వైశాల్యం πr² లో సెక్టర్ వైశాల్యం కూడా సరిగ్గా అంతే భాగం!

11.1 (ii) వృత్త ఖండ వైశాల్యం (Area of Segment = Sector − Triangle)

📖 నిర్వచనం & కత్తిరింపు సూత్రం

వృత్త జ్యా AB మరియు సంబంధిత చాపం APB ల మధ్య ఆవరింపబడిన భాగాన్ని వృత్త ఖండము (Segment) అంటారు. మొత్తం సెక్టర్ OAPB నుండి త్రిభుజం ΔOAB వైశాల్యాన్ని తీసివేయగా అల్ప వృత్త ఖండ వైశాల్యం వస్తుంది.

వృత్త ఖండ వైశాల్యం = θ360°πr2 − వైశాల్యం(ΔOAB)
θ = 60°: ΔOAB = (√3/4)r2 | θ = 90°: ΔOAB = (1/2)r2 | θ = 120°: ΔOAB = (√3/4)r2
💡 ఓహో! పిజ్జా ముక్క (సెక్టర్ OAPB) నుండి మధ్యలోని త్రిభుజం ΔOAB ని కత్తిరించి తీసివేస్తే మిగిలే అంచు భాగమే వృత్త ఖండం!

11.1 (iii) గడియారపు ముల్లు & సమాన విభాగాల కోణం (Clock Hand & Equal Sectors)

⏰ ముఖ్య పరీక్షా సూత్రం (Exam Shortcut)

గడియారంలోని నిమిషాల ముల్లు 60 నిమిషాలలో 360° తిరుగుతుంది. కావున 1 నిమిషంలో అది చేసే కోణం = 360° / 60 = 6°. అలాగే n సమాన భాగాలుగా విభజించిన వృత్తంలో ప్రతి సెక్టర్ కోణం = 360° / n.

t నిమిషాలలో కోణం θ = 6° × t  |  n సమాన భాగాలలో θ = 360°n
💡 ఓహో! ప్రతి 1 నిమిషానికి నిమిషాల ముల్లు 6° తిరుగుతుంది — కాబట్టి 5 నిమిషాలలో 5 × 6° = 30° సెక్టర్ ఏర్పడుతుంది!

Leave a Comment

🌐 భాష / Language: