10Th Class: 9.Some Applications of Trigonometry

AP SCERT • 10వ తరగతి గణితం (సెమిస్టర్-2)

అధ్యాయం 9: త్రికోణమితి యొక్క అనువర్తనాలు (Some Applications of Trigonometry)

ఎత్తులు మరియు దూరాలు — ప్రధాన భావనలు & దృశ్య యానిమేషన్లు

దృష్టి రేఖ, ఊర్ధ్వకోణం, నిమ్నకోణం మరియు పరిశీలకుని ఎత్తు ఎత్తు-దూరాల గణనలో ఎలా పనిచేస్తాయో స్లైడర్లతో ప్రత్యక్షంగా చూడండి.

9.1 (i) దృష్టి రేఖ & ఊర్ధ్వకోణం (Line of Sight & Angle of Elevation)

📖 నిర్వచనం (Definition)

పరిశీలకుని కంటి నుండి చూసే వస్తువు బిందువుకు గీసిన రేఖను ‘దృష్టి రేఖ’ అంటారు. క్షితిజ సమాంతర రేఖకు ఎగువన ఉన్న వస్తువును తల ఎత్తి చూసినప్పుడు దృష్టిరేఖ క్షితిజరేఖతో చేసే కోణాన్ని ‘ఊర్ధ్వకోణం’ (Angle of Elevation) అంటారు.

tan θ = ఎదుటి భుజం (ఎత్తు h)ఆసన్న భుజం (దూరం d)  ⇒  h = d · tan θ
💡 ఓహో! మనం టవర్ వైపు దగ్గరగా నడిచే కొద్దీ (దూరం d తగ్గితే), పై కొనను చూడటానికి తల ఎక్కువగా ఎత్తాలి — అంటే ఊర్ధ్వకోణం θ పెరుగుతుంది!

9.1 (ii) నిమ్నకోణం & ఏకాంతర అంతర కోణాల సమానత్వం (Angle of Depression)

📖 నిర్వచనం & జ్యామితీయ నియమం

క్షితిజ సమాంతర రేఖకు దిగువన ఉన్న వస్తువును తల దించి చూసినప్పుడు దృష్టిరేఖ క్షితిజరేఖతో చేసే కోణాన్ని ‘నిమ్నకోణం’ (Angle of Depression) అంటారు. సమాంతర రేఖల ధర్మం ప్రకారం నిమ్నకోణం ఎల్లప్పుడూ అడుగు బిందువు వద్ద ఏర్పడే ఊర్ధ్వకోణానికి సమానం.

నిమ్నకోణం ∠QPA = ఊర్ధ్వకోణం ∠PAC (ఏకాంతర అంతర కోణాలు)  ⇒  d = htan θ
💡 ఓహో! నిమ్నకోణం పైభాగంలోని క్షితిజ రేఖ (PQ) వద్ద ఏర్పడుతుంది — త్రిభుజం లోపలి కోణం కాదు! Z-ఆకారపు ఏకాంతర కోణాల వల్ల అది కింది కోణానికి సమానమవుతుంది!

9.1 (iii) పరిశీలకుని ఎత్తు సర్దుబాటు (Observer Eye-Level Height)

📖 ముఖ్య గమనిక (Crucial Exam Rule)

ప్రశ్నలో పరిశీలకుని ఎత్తు (ఉదా: 1.5 మీ. లేదా 1.2 మీ.) ఇచ్చినప్పుడు, క్షితిజ సమాంతర రేఖ కంటి ఎత్తు నుండి మొదలవుతుంది. కావున లంబకోణ త్రిభుజం ఎత్తుకు పరిశీలకుని ఎత్తును కలపాలి (లేదా మొత్తం ఎత్తు నుండి తీసివేయాలి).

మొత్తం ఎత్తు (CD) = త్రిభుజ ఎత్తు (CB) + పరిశీలకుని ఎత్తు (AE)
💡 ఓహో! కంటి నుండి క్షితిజ రేఖ గీయడం వల్ల కింద ఒక దీర్ఘచతురస్రం ఏర్పడుతుంది — కావున చివరలో పరిశీలకుని ఎత్తు కలపడం మర్చిపోకూడదు!

Leave a Comment

🌐 భాష / Language: